Phương trình đường thẳng trong không gian tọa độ Oxyz VD VDC phần 1

Phương trình đường thẳng trong không gian tọa độ $Oxyz$ VD VDC gồm có 2 phần , phần 1 gồm các câu hỏi từ câu 1 đến câu 26, phần 2 gồm các câu hỏi từ câu 27 đến câu 56. Chuyên đề này gồm các câu hỏi ở mức vận dụng và vận dụng cao của bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian tọa độ $Oxyz$

Sau đây chúng tôi xin giới thiệu quý thầy cô và các em học sinh phần 1 của chuyên đề này.

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( 3\,;\,3\,;\,-2 \right)$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\,\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{1}$; ${{d}_{2}}:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{4}$. Đường thẳng $d$ đi qua $M$ cắt ${{d}_{1}},\,\,{{d}_{2}}$ lần lượt tại $A$ và $B$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

A. $\sqrt{6}$.       B. 3.       C. 4.       D. 2.

Lời giải:

Ta có phương trình tham số của ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align}& x=1+{{t}_{1}} \\ & y=2+3{{t}_{1}} \\  & z={{t}_{1}} \\ \end{align} \right.;\,{{t}_{1}}\in \mathbb{R}$, $A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( 1+{{t}_{1}}\,;\,2+3{{t}_{1}}\,;\,{{t}_{1}} \right)$;

phương trình tham số của ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}& x=-1-{{t}_{2}} \\  & y=1+2{{t}_{2}} \\ & z=2+4{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.;\,{{t}_{2}}\in \mathbb{R}$, $B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( -1-{{t}_{2}}\,;\,1+2{{t}_{2}}\,;2+4\,{{t}_{2}} \right)$;

$\overrightarrow{MA}=\left( {{t}_{1}}-2\,;\,3{{t}_{1}}-1\,;\,{{t}_{1}}+2 \right);\,\overrightarrow{MB}=\left( -4-4{{t}_{2}}\,;\,-2+2{{t}_{2}}\,;\,4+4{{t}_{2}} \right)$.

Vì $A,\,B,\,M\,$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB},\,k\in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{t}_{1}}-2=-4k-k{{t}_{2}} \\ & 3{{t}_{1}}-1=-2k+2k{{t}_{2}} \\  & {{t}_{1}}+2=4k+4k{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{t}_{1}}+4k+k{{t}_{2}}=2 \\ & 3{{t}_{1}}+2k-2k{{t}_{2}}=1 \\  & {{t}_{1}}-4k-4k{{t}_{2}}=-2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{t}_{1}}=0 \\ & k=\frac{1}{2} \\  & k{{t}_{2}}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{t}_{1}}=0 \\ & k=\frac{1}{2} \\ & {{t}_{2}}=0 \\ \end{align} \right.$.

Vậy $A\left( 1\,;\,2\,;\,0 \right)$ và $B\left( -1\,;\,1;\,2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -2\,;\,-1\,;\,2 \right)$. Độ dài đoạn thẳng $AB=\left| \overrightarrow{AB} \right|=3$.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( 1;\,2;\,3 \right)$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$, $d$ cắt tia $Ox$ tại $A$ và cắt mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ tại $B$ sao cho $MA=2MB$. Độ dài đọan $AB$ bằng

A. $\frac{3\sqrt{17}}{2}$.       B. $\frac{5\sqrt{17}}{2}$.       C. $\sqrt{17}$.       D. $\frac{\sqrt{17}}{2}$.

Lời giải:

Giả sử điểm $A\left( a;\,0;\,0 \right)$ $\left( a>0 \right)$ và điểm $B\left( 0;\,b;\,c \right)$. Khi đó $\overrightarrow{MA}=\left( a-1;\,-2;\,-3 \right)$ và $\overrightarrow{MB}=\left( -1;\,b-2;\,c-3 \right)$

Theo giả thiết $MA=2MB$ nên ta có hai trường hợp.

Trường hợp 1. $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}\Rightarrow a-1=-2\Rightarrow a=-1$ không thỏa mãn điều kiện $a>0$

Trường hợp 2. $\overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{MB}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a-1=2 \\  & -2=-2\left( b-2 \right) \\  & -3=-2\left( c-3 \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a=3 \\  & b=3 \\  & c=\frac{9}{2} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow A\left( 3;\,0;\,0 \right)$ và $B\left( 0;\,3;\,\frac{9}{2} \right)$.

Vậy $AB=\sqrt{{{\left( 0-3 \right)}^{2}}+{{\left( 3-0 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{9}{2}-0 \right)}^{2}}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$.

Câu 3. Cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-2  \\y=t  \\z=2+2t  \\\end{array}(t\in \mathbb{R}), \right.$ $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-4}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+y-z+2=0$. Gọi ${{d}^{\prime }},{{\Delta }^{\prime }}$ lần lượt là hình chiếu của $d$ và $\Delta $ lên mặt phẳng $(P)$. Gọi $M(a;b;c)$ là giao điểm của hai đường thẳng ${{d}^{\prime }}$ và ${{\Delta }^{\prime }}$. Giá trị của $a+bc$ bằng

A. 3.       B. 4.       C. 5.       D. 6.

Lời giải:

* Đường thẳng $d$ đi qua $E\left( -2;0;2 \right),$ vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 0;1;2 \right)$. Đường thẳng $\Delta $ đi qua $F\left( 3;1;4 \right),$ vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;-1;1 \right)$. Mặt phẳng $(P):x+y-z+2=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;-1 \right)$.

* Mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d$ vuông góc mặt phẳng $(P)$ đi qua $E,$ nhận $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{n} \right]=\left( -3;2;-1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình: $\left( Q \right):-3x+2y-z-4=0$. Đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại $K\left( -2;-2;-2 \right)$.

* Đường thẳng ${{d}^{\prime }}$ đi qua $K\left( -2;-2;-2 \right)$ nhận $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left[ \overrightarrow{n},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( 1;4;5 \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{align} & x=-2+{{t}_{1}} \\ & y=-2+4{{t}_{1}} \\  & z=-2+5{{t}_{1}} \\ \end{align} \right.$.

* Mặt phẳng $\left( R \right)$ chứa $\Delta $vuông góc mặt phẳng $(P)$ đi qua $F\left( 3;1;4 \right),$  $\left[ \overrightarrow{{{u}_{2}}},\overrightarrow{n} \right]=\left( 0;2;2 \right)$ chọn $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 0;1;1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình: $\left( R \right):y+z-5=0$. Đường thẳng $\Delta $ cắt $(P)$ tại $S\left( 5;-1;6 \right)$.

* Đường thẳng ${{\Delta }^{\prime }}$đi qua $S\left( 5;-1;6 \right)$, $\left[ \overrightarrow{n},\overrightarrow{{{n}_{R}}} \right]=\left( -4;2;-2 \right)$ chọn $\overrightarrow{{{u}_{4}}}=\left( -2;1;-1 \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{align}& x=5-2{{t}_{2}} \\  & y=-1+{{t}_{2}} \\ & z=6-{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$.

* Tọa độ giao điểm của ${{d}^{\prime }}$và ${{\Delta }^{\prime }}$ là nghiệm của hệ phương trình sau $\left\{ \begin{align}& -2+{{t}_{1}}=5-2{{t}_{2}} \\ & -2+4{{t}_{1}}=-1+{{t}_{2}} \\ & -2+5{{t}_{1}}=6-{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{t}_{1}}=1 \\ & {{t}_{2}}=3 \\ \end{align} \right.$.

Suy ra $M\left( -1;2;3 \right)$ nên $a=-1;b=2;c=3$. Kết quả: $a+bc=5.$

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+z-10=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}$. Đường thẳng $\Delta $ cắt $\left( P \right)$ và $d$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $A\left( 3;2;1 \right)$ là trung điểm của $MN$. Độ dài đoạn $MN$ bằng

A. $4\sqrt{6}$.       B. $2\sqrt{6}$.       C. $6\sqrt{2}$.       D. $2\sqrt{14}$.

Lời giải:

Do $N=\Delta \cap d$ nên gọi $N\left( -2+2t;1+t;1-t \right)$.

Mà $A\left( 3;2;1 \right)$ là trung điểm của $MN$ $\Rightarrow M\left( 8-2t;3-t;1+t \right)$.

Mặt khác, $M\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( 8-2t \right)-\left( 3-t \right)+1+t-10=0\Leftrightarrow -2t+4=0\Leftrightarrow t=2$.

Suy ra: $M\left( 4;1;3 \right)$ và $N\left( 2;3;-1 \right)$.

Vậy độ dài $MN=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=2\sqrt{6}$.

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z+2}{4}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-y+2z-4=0$. Đường thẳng đối xứng với $d$ qua $\left( P \right)$ đi qua điểm nào trong các điểm sau:

A. $E\left( -2;2;-2 \right)$.       B. $F\left( 1;1;-2 \right)$.       C. $G\left( 4;2;6 \right)$.       D. $Q\left( 0;0;6 \right)$.

Lời giải:

* Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1\,;\,-1\,;\,2 \right)$.

* Gọi $I=d\cap \left( P \right)$ $\Rightarrow I\left( t\,;\,4-3t\,;\,4t-2 \right)$.

$I\in \left( P \right)$ nên $t-\left( 4-3t \right)+2\left( 4t-2 \right)-4=0$ $\Leftrightarrow t=1$ $\Rightarrow I\left( 1;1;2 \right)$.

* Ta có $M\left( 2;-2;6 \right)\in d$. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$.

Khi đó $MH$ đi qua $M$, có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{n}=\left( 1\,;\,-1\,;\,2 \right)$ $\Rightarrow MH:\left\{ \begin{align}& x=2+a \\ & y=-2-a \\  & z=6+2a \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow H\left( 2+m\,;\,-2-m\,;\,6+2m \right)$.

$H\in \left( P \right)$ nên $2+m-\left( -2-m \right)+2\left( 6+2m \right)-4=0$$\Leftrightarrow m=-2$ $\Rightarrow H\left( 0\,;0\,;\,2 \right)$.

* Gọi $K$ là điểm đối xứng với $M$ qua $\left( P \right)$$\Rightarrow $$H$ là trung điểm của $MK$$\Rightarrow $ $K\left( -2;2;-2 \right)$.

Vậy đường thẳng $d'$ đối xứng với $d$ qua $\left( P \right)$ là đường thẳng đi qua hai điểm $I\left( 1;1;2 \right)$ và $K\left( -2;2;-2 \right)$ nên $d'$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{KI}=\left( 3;-1;4 \right)$ $\Rightarrow $ $d':\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{4}$.

Suy ra $d'$ đi qua $E\left( -2;2;-2 \right)$.

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z-3=0$ và hai điểm $M\left( 1;1;1 \right)$, $N\left( -3;-3;-3 \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua $M,\,\,N$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ tại điểm $Q$. Biết rằng $Q$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn cố định đó là

A. $R=\frac{2\sqrt{11}}{3}$.       B. $R=6$.       C. $R=\frac{2\sqrt{33}}{3}$.       D. $R=4$.

Lời giải:

* Đường thẳng $MN$ có phương trình là: $MN:\left\{ \begin{align}& x=1+t \\ & y=1+t \\ & z=1+t \\ \end{align} \right.$.

* Gọi $I=MN\cap \left( P \right)$ khi đó tọa độ điểm $I$ ứng với $t$ thỏa mãn:

$1+t+1+t-1-t-3=0\Leftrightarrow t-2=0\Leftrightarrow t=2$ $\Rightarrow I\left( 3;3;3 \right)\Rightarrow IM=2\sqrt{3},{ }IN=6\sqrt{3}$.

* Do mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua $M,\,\,N$ và tiếp xúc với đường thẳng $IQ$ tại điểm $Q$ nên ta có: $I{{Q}^{2}}=IM.IN=K{{I}^{2}}-{{R}^{2}}\Rightarrow I{{Q}^{2}}=IM.IN=36\Leftrightarrow IQ=6$

Vậy $Q$ luôn thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $R=6$.

Câu 7. Trong không gian ${Oxyz}$, cho hai mặt cầu ${\left( {{S}_{1}} \right)\,\,}$, ${\left( {{S}_{2}} \right)\,}$ có phương trình lần lượt là ${\left( {{S}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25\,}$, ${\left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4\,}$. Một đường thẳng ${d}$ vuông góc với vectơ ${\vec{u}=\left( 1;-1;0 \right)\,}$ tiếp xúc với mặt cầu ${\left( {{S}_{2}} \right)\,}$ và cắt mặt cầu ${\left( {{S}_{1}} \right)\,}$ theo một đoạn thẳng có độ dài bằng 8. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ${d}$?

A. ${{\vec{u}}_{1}}=\left( 1;1;\sqrt{3} \right)$.       B. ${{\vec{u}}_{2}}=\left( 1;1;\sqrt{6} \right)$.       C. ${{\vec{u}}_{3}}=\left( 1;1;0 \right)$.       D. ${{\vec{u}}_{4}}=\left( 1;1;-\sqrt{3} \right)$.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm $O\left( 0;0;0 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=5$.

Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm $I\left( 0;0;1 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=2$.

Có $OI=1<{{R}_{1}}-{{R}_{2}}$ nên $\left( {{S}_{2}} \right)$ nằm trong mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$.

Giả sử $d$ tiếp xúc với $\left( {{S}_{2}} \right)$ tại $H$ và cắt mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ tại $M$, $N$. Gọi $K$ là trung điểm $MN$.

Khi đó $IH={{R}_{2}}=2$ và $OH\ge OK$.

Theo giả thiết $MN=8\Rightarrow MK=4$$\Rightarrow OK=\sqrt{R_{1}^{2}-M{{K}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3$.

Có $OI=1$, $IH=2$ $\Rightarrow OK=OI+IH\ge OH\ge OK$. Do đó $OH=OK$, suy ra $H\equiv K$, tức $d$ vuông góc với đường thẳng $OI$.

Đường thẳng $d$ cần tìm vuông góc với véc tơ $\vec{u}=\left( 1;-1;0 \right)$ và vuông góc với $\overrightarrow{OI}=\left( 0;0;1 \right)$ nên có vectơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{3}}=\left[ \overrightarrow{OI},\vec{u} \right]=\left( 1;1;0 \right)$.

Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25$ và đường thẳng $d:\frac{x}{3}=\frac{y-2}{5}=\frac{z+3}{-4}$. Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc trục tung, với tung độ là số nguyên, mà từ $M$ kẻ được đến $\left( S \right)$ hai tiếp tuyến cùng vuông góc với $d$?

A. 7.       B. 9.       C. 14.       D. 26.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có $I\left( 1;\,-2;3 \right)$, bán kính $R=5$.

Vì $M\in Oy$ nên $M\left( 0;\,m;\,0 \right).$

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$ $\Rightarrow $ phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $3x+5y-4z-5m=0$.

Khi đó $\left( P \right)$ chứa hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ $M$ và cùng vuông góc với $d.$

Để tồn tại các tiếp tuyến thỏa mãn bài toán điều kiện là

$\left\{ \begin{align}& d\left( I,\,\left( P \right) \right)R \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{\left| -19-5m \right|}{5\sqrt{2}}<5 \\ & \sqrt{{{\left( m+2 \right)}^{2}}+10}>5 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left| 5m+19 \right|<25\sqrt{2} \\ & {{\left( m+2 \right)}^{2}}>15 \\ \end{align} \right.$ . . . $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{15}-2<m<\frac{25\sqrt{2}-19}{5} \\ & \frac{-25\sqrt{2}-19}{5}<m<-\sqrt{15}-2 \\ \end{align} \right.$

Vì $m$ là số nguyên nên $m\in \left\{ 2;3;-10;...;-6 \right\}$.

Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán.

Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+12y+6z+24=0$. Hai điểm $M,\,N$ thuộc $\left( S \right)$ sao cho $MN=8$ và $O{{M}^{2}}-O{{N}^{2}}=-112$. Khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $MN$ bằng

A. 4.       B. 3.       C. $2\sqrt{3}$.       D. $\sqrt{3}$.

Lời giải:

Ta có: $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;-6;-3 \right)$ và bán kính $R=5$.

Ta có: $\overrightarrow{OI}=\left( 2;-6;-3 \right)\Rightarrow OI=7$.

Gọi $H$ là trung điểm $MN\Rightarrow IH=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{M{{N}^{2}}}{4}}=3$.

Ta có: $O{{M}^{2}}-O{{N}^{2}}=-112\Rightarrow {{\left( \overrightarrow{OM} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{ON} \right)}^{2}}=-112\Rightarrow {{\left( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IM} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IN} \right)}^{2}}=-112$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{OI}{{\left( \overrightarrow{IM}-\overrightarrow{IN} \right)}^{2}}=-112\Rightarrow \overrightarrow{OI}.\overrightarrow{MN}=56$.

Ta lại có: $\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{MN}=OI.MN.\cos \left( \overrightarrow{OI},\overrightarrow{MN} \right)=56\Rightarrow \cos \left( \overrightarrow{OI},\overrightarrow{MN} \right)=1\Rightarrow OI{//}MN$.

Do $OI{//}MN\Rightarrow d\left( O;MN \right)=d\left( I;MN \right)=IH=3$.

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}={{3}^{2}}$, mặt phẳng $\left( P \right):x-y+z+3=0$ và điểm $N\left( 1\,;\,0\,;\,-4 \right)$ thuộc $\left( P \right)$. Một đường thẳng $\Delta $ đi qua $N$ nằm trong $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm $A,B$ thỏa mãn $AB=4$. Gọi $\overrightarrow{u}=\left( 1\,;\,b\,;\,c \right),\,\,\,\left( c>0 \right)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta $, tổng $b+c$ bằng

A. $-1$.       B. 1.       C. 3.       D. 45.

Lời giải:

Ta có $\Delta \subset \left( P \right)$ nên $\overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=0\Leftrightarrow 1.1-1.b+1.c=0\Leftrightarrow b=c+1\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 1\,;\,c+1\,;\,c \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1\,;\,2\,;\,1 \right)$ và bán kính $R=3$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\left( P \right)$, suy ra $IH\bot \left( P \right)\Rightarrow IH\bot AB$.

Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $\Delta $, suy ra $M$ là trung điểm $AB$ nên $AM=\frac{AB}{2}=2$

Ta có $\left\{ \begin{align}& AB\bot IH \\ & AB\bot HM \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow IM\bot AB$.

Khi đó $d\left( I,\Delta  \right)=IM=\sqrt{I{{A}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}-{{2}^{2}}}=\sqrt{5}$.

Ta có $\overrightarrow{IN}=\left( 0\,;\,-2\,;\,-5 \right)$ và $\overrightarrow{u}=\left( 1\,;\,c+1\,;\,c \right)$ nên $\left[ \overrightarrow{IN}\,,\,\overrightarrow{u} \right]=\left( 3c+5\,;\,-5\,;\,2 \right)$.

Khi đó $d\left( I,\Delta  \right)=\sqrt{5}$ $\Leftrightarrow \frac{\left| \left[ \overrightarrow{IN}\,,\,\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\sqrt{5}$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{{\left( 3c+5 \right)}^{2}}+{{\left( -5 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( c+1 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{5}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & c=-2 \\  & c=22 \\ \end{align} \right.$.

Do $c>0$ nên $c=22\Rightarrow b=22+1=23$.

Vậy $b+c=23+22=45$.

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):2x-y-2z+10=0$, đồng thời $\left( \alpha  \right)$ song song và cách đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-3}$ một khoảng bằng $\sqrt{2}$ có phương trình là

A. $5x-4y+3z-9=0$ hoặc $5x-4y+3z+9=0$.       B. $5x+4y+3z+11=0$ hoặc $5x+4y+3z-11=0$.       C. $5x-4y+3z+9=0$ hoặc $5x-4y+3z-11=0$.       D. $5x+4y+3z+11=0$ hoặc $5x+4y+3z-9=0$.

Lời giải:

Ta có$\left( P \right):2x-y-2z+10=0$ có VTPT $\overrightarrow{n}=\left( 2\ ;\ -1\ ;\ -2\  \right)$.

Đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-3}$ có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( 1\ ;\ 1\ ;\ -3\  \right)$và đi qua $A\left( 1\ ;\ 0\ ;\ -2\  \right)$.

Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):2x-y-2z+10=0$ và song song với đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-3}$ nên VTPT của $\left( \alpha  \right)$ là ${{\overrightarrow{n}}_{\alpha }}=\left[ \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} \right]=\left( 5\ ;\ 4\ ;\ 3\  \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$có dạng $\left( \alpha  \right):5x+4y+3z+D=0$.

Lại có $d\left( \left( P \right);\Delta  \right)=\sqrt{2}$

$\Rightarrow d\left( A;(P \right)=\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \frac{\left| 5.1+4.0+3.(-2)+D \right|}{\sqrt{25+16+9}}=\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \left| D-1 \right|=10$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & D=-9 \\ & D=11 \\ \end{align} \right.$.

Vậy mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là $5x+4y+3z-9=0$ hoặc $5x+4y+3z+11=0$.

Câu 12. Trong $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+z-4=0$và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}$. Đường thẳng $\Delta $ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là:

A. $\frac{x+1}{5}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-1}{3}$.       B. $\frac{x-1}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$.       C. $\frac{x-1}{5}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{2}$.       D. $\frac{x-1}{5}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-3}$.

Lời giải:

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{p}}}=\left( 1;2;1 \right)$

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;3 \right)$

Vì $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=7\ne 0$ nên đường thẳng $\left( d \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt nhau.

Gọi $H=d\cap \left( P \right)\Rightarrow $ Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& x+2y+z-4=0 \\ & \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=1 \\ & z=1 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow H=\left( 1;1;1 \right)$.

Vì đường thắng $\Delta $ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng $d$ nên đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $H$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{p}}},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 5;-1;-3 \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta $ là: $\frac{x-1}{5}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-3}.$

Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 3;1;1 \right)$, $B\left( 3;-2;-2 \right)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ sao cho các đường thẳng $MA$, $MB$ luôn tạo với mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ các góc bằng nhau. Biết rằng điểm $M$ luôn thuộc đường tròn $\left( C \right)$ cố định. Bán kính $R$ của đường tròn $\left( C \right)$ là

A. $R=1$.       B. $R=2\sqrt{2}$.       C. $R=8$.       D. $R=2$.

Lời giải:

Ta có $M\left( x;0;z \right)\in \left( Oxz \right)$, $\overrightarrow{AM}=\left( x-3;-1;z-1 \right)$, $\overrightarrow{BM}=\left( x-3;2;z+2 \right)$.

Do $\left( MA,\left( Oxz \right) \right)=\left( MB,\left( Oxz \right) \right)$ nên $\frac{\left| \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{j} \right|}{MA.\left| \overrightarrow{j} \right|}=\frac{\left| \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{j} \right|}{MB.\left| \overrightarrow{j} \right|}$

$\Leftrightarrow \frac{\left| -1 \right|}{\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+1+{{\left( z-1 \right)}^{2}}}}=\frac{\left| 2 \right|}{\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+4+{{\left( z+2 \right)}^{2}}}}$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+4+{{\left( z+2 \right)}^{2}}}=2\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+1+{{\left( z-1 \right)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+9+4+{{z}^{2}}+4z+4=4\left( {{x}^{2}}-6x+9+1+{{z}^{2}}-2z+1 \right)$

$\Rightarrow 3{{x}^{2}}+3{{z}^{2}}-18x-12z+27=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-4z+9=0$.

Suy ra tập hợp điểm $M$ là đường tròn nằm trong mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ có tâm $I\left( 3;0;2 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}-9}=2$.

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$; ${{d}_{2}}:\frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+3z-5=0$. Đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ vuông góc với $\left( P \right)$, cắt ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ lần lượt tại $M$ và $N$. Diện tích tam giác $OMN$ bằng

A. $\frac{\sqrt{28}}{2}$.       B. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.       C. $3\sqrt{3}$.       D. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Lời giải:

Vì $M\in {{d}_{1}}\Rightarrow M\left( 3-a;3-2a;-2+a \right)$

Vì $N\in {{d}_{1}}\Rightarrow N\left( 5-3b;-1+2b;2+b \right)$

Đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ nhận $\overrightarrow{MN}\left( 2-3b+a;-4+2b+2a;4+b-a \right)$ làm vtcp

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vtpt $\overrightarrow{n}\left( 1;2;3 \right)$.

Vì $\left( \Delta  \right)\bot \left( P \right)\Rightarrow $$\overrightarrow{MN}$ cùng phương với $\overrightarrow{n}$ $\Rightarrow \frac{2-3b+a}{1}=\frac{-4+2b+2a}{2}=\frac{4+b-a}{3}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 4-6b+2a=-4+2b+2a \\ & 6-9b+3a=4+b-a \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 8b=8 \\ & 10b-4a=2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=2 \\ & b=1 \\ \end{align} \right.$.

Vậy $M\left( 1;-1;0 \right);\,N\left( 2;1;3 \right)$.

Diện tích tam giác $OMN:$ ${{S}_{OMN}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{ON} \right] \right|=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Câu 15. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y+z+5=0$ và mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( 1;\,2;\,-2 \right)$. Biết $(P)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ có chu vi $8\pi$. Mặt cầu $(T)$ chứa đường tròn $(C)$ và $(T)$ đi qua điểm $M\left( 1;\,1;\,1 \right)$ có bán kính là

A. $R=5$.       B. $R=\frac{\sqrt{265}}{4}$.       C. $R=\frac{5\sqrt{5}}{4}$.       D. $R=4$.

Lời giải:

+ Gọi $J,H$ lần lượt là tâm của mặt cầu $(T)$ và tâm đường tròn $(C)$. Khi đó $I,J,H$ cùng thuộc đường thẳng $\Delta $ vuông góc với $(P)\Rightarrow (\Delta )$ $\left\{ \begin{align}& x=1+2t \\ & y=2+2t \\ & z=-2+t \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow J(1+2t,2+2t,-2+t)\Rightarrow \overrightarrow{MJ}=(2t;2t+1;t-3)$

Suy ra $R_{T}^{2}=J{{M}^{2}}=9{{t}^{2}}-2t+10$; $d(J;(P))=\frac{\left| 9t+9 \right|}{\sqrt{4+4+1}}=\left| 3t+3 \right|$

+ $(P)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ có chu vi $8\pi \Rightarrow 2\pi .r=8\pi \Rightarrow r=4$

+ Mặt cầu $(T)$ chứa đường tròn $(C)\Rightarrow R_{T}^{2}={{d}^{2}}(J;(P))+{{r}^{2}}\Leftrightarrow 9{{t}^{2}}-2t+10={{\left| 3t+3 \right|}^{2}}+16\Rightarrow t=\frac{-3}{4}$

+ Do đó $R_{T}^{2}=9.\frac{9}{16}+\frac{6}{4}+10=\frac{265}{16}\Rightarrow R{}_{T}=\frac{\sqrt{265}}{4}$.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x-y+z+3=0$, $\left( Q \right):x+2y-2z-5=0$ và mặt cầu $\left( S \right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z-11=0$. Gọi $M$ là điểm di động trên mặt cầu $\left( S \right)$ và $N$ là điểm di động trên $\left( P \right)$ sao cho $MN$ luôn vuông góc với $\left( Q \right)$. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng

A. $3+5\sqrt{3}$.       B. 28.       C. $9+5\sqrt{3}$.       D. 14.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-2;3 \right)$, bán kính $R=5$; $d\left( I,\left( P \right) \right)=3\sqrt{3}>R$.

Vì $MN\bot \left( Q \right)$ nên đường thẳng $MN$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;-2 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1;-1;1 \right)$.

Gọi $\alpha $ là góc giữa $MN$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Suy ra: $\sin \alpha =\frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Ta có: $MN=\frac{d\left( M,\left( P \right) \right)}{\sin \alpha }=\sqrt{3}.d\left( M,\left( P \right) \right)\le \sqrt{3}\left[ d\left( I,\left( P \right) \right)+R \right]=9+5\sqrt{3}$.

Vậy giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng $9+5\sqrt{3}$.

Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{1}$; ${{d}_{2}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y-2z+5=0$. Đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ và cắt ${{d}_{1}},\,{{d}_{2}}$ lần lượt tại $A,\,B$ sao cho độ dài đoạn $AB$ đạt giá trị nhỏ nhất, có phương trình là

A. $\frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{-1}$.       B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}$.       C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{-1}$.       D. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}$.

Lời giải:

Gọi $A=d\cap {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( -1+a;-2+2a;a \right)$; $B=d\cap {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 2+2b;1+b;1+b \right)$, $a,b\in \mathbb{R}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 3+2b-a;3+b-2a;1+b-a \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Mặt phẳng $\left( P \right):x+y-2z+5=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;-2 \right)$.

Do $d\,//\,\left( P \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0$ $\Leftrightarrow 1.\left( 3+2b-a \right)+1.\left( 3+b-2a \right)-2\left( 1+b-a \right)=0$

$\Leftrightarrow -a+b+4=0$ $\Leftrightarrow a=b+4$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( b-1;-b-5;-3 \right)$.

$\Rightarrow AB=\sqrt{{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( -b-5 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}$ $=\sqrt{2{{b}^{2}}+8b+35}$ $=\sqrt{2{{\left( b+2 \right)}^{2}}+27}$ $\ge 3\sqrt{3}$.

Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow $ $b=-2$ $\Rightarrow a=2$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -3;-3;-3 \right)=-3\left( 1;1;1 \right)$, $A\left( 1;2;2 \right)$.

Vậy đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow{u}\left( 1;1;1 \right)$ là một vectơ chỉ phương và đi qua $A$ nên $d$ có phương trình $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}$.

Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( -2;\,-2;\,1 \right),\,A\left( 1;\,2;\,-3 \right)$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z}{-1}$. Gọi $\overrightarrow{u}=\left( 1;\,a;\,b \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ đi qua $M$, $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d$ đồng thời cách điểm $A$ một khoảng nhỏ nhất. Giá trị $a+2b$ bằng

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;\,2;\,-1 \right)$; $\overrightarrow{u}=\left( 1;\,a;\,b \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $.

Theo đề, $\Delta \bot d\Rightarrow 2+2a-b=0\Leftrightarrow b=2a+2$.

Mặt khác, $\overrightarrow{MA}=\left( 3;\,4;\,-4 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{u} \right]=\left( 4a+4b;\,-4-3b;\,3a-4 \right)=\left( 12a+8;\,-6a-10;\,3a-4 \right)$.

Nên $d\left( A,\Delta  \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\frac{\sqrt{{{\left( 12a+8 \right)}^{2}}+{{\left( 6a+10 \right)}^{2}}+{{\left( 3a-4 \right)}^{2}}}}{\sqrt{1+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$$=\frac{\sqrt{189{{a}^{2}}+288a+180}}{\sqrt{5{{a}^{2}}+8a+5}}$.

Xét $f\left( a \right)=\frac{189{{a}^{2}}+288a+180}{5{{a}^{2}}+8a+5}\Rightarrow {f}'\left( a \right)=\frac{72{{a}^{2}}+90a}{{{\left( 5{{a}^{2}}+8a+5 \right)}^{2}}}$.

${f}'\left( a \right)=0\Rightarrow \frac{72{{a}^{2}}+90a}{{{\left( 5{{a}^{2}}+8a+5 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow 72{{a}^{2}}+90a=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=0 \\ & a=-\frac{5}{4} \\ \end{align} \right.$

Lập bảng biến thiên, có khoảng cách từ $A$ đến $\Delta $ nhỏ nhất khi $a=0\Rightarrow b=2\Rightarrow a+2b=4$.

Câu 19. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 1;\,1;\,1 \right),\,B\left( 1;\,2;\,2 \right),\,I\left( 0;\,0;\,4 \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm $A,\,B$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ tại điểm $C$. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn $IC$ bằng

A. $3\sqrt{2}.$       B. $2\sqrt{3}.$       C. 5.       D. 4.

Lời giải:

Đường thẳng $AB:\left\{ \begin{align}& qua\,A\left( 1;\,1;\,1 \right) \\ & VTCP\,\overrightarrow{AB}=\left( 0;\,1;\,1 \right) \\ \end{align} \right.$  có phương trình $\left\{ \begin{align} & x=1 \\  & y=1+t \\ & z=1+t \\ \end{align} \right.$

Gọi $M=AB\cap \left( Oxy \right)\Rightarrow M\left( 1;\,0;\,0 \right)$

Ta có: $IC=\sqrt{O{{I}^{2}}+O{{C}^{2}}}=\sqrt{16+O{{C}^{2}}}\Rightarrow I{{C}_{\max }}\Leftrightarrow O{{C}_{\max }}$

Ta lại có: $OM+MC\ge OC\Rightarrow O{{C}_{\max }}=OM+MC$ khi $O,\,M,\,C$ thẳng hàng.

$M{{C}^{2}}=MA.MB=\sqrt{2}.\sqrt{8}=4\Rightarrow MC=2$ và $OM=1$, $OM=4$$\Rightarrow O{{C}_{\max }}=OM+MC=3$.

Vậỵ $I{{C}_{\max }}=\sqrt{16+O{{C}^{2}}_{\max }}=5.$

Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 1;\,2;\,-3\, \right),\,B\left( \,-2;\,-2;\,1 \right)\,$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z+9=0.$ Gọi $M$ là điểm thay đổi trên $\left( P \right)$ sao cho $\widehat{AMB}=90{}^\circ .$ Khi khoảng cách $MB$ lớn nhất, phương trình đường thẳng $MB$ là

A. $\left\{ \begin{align} & x=-2+t \\ & y=-2 \\ & z=1+2t \\ \end{align} \right.$.       B. $\left\{\begin{align}& x=-2-t \\ & y=-2+2t \\ & z=1+2t \\ \end{align} \right.$.       C. $\left\{\begin{align} & x=-2+2t \\ & y=-2-t \\ & z=1+2t \\ \end{align} \right.$.       D. $\left\{ \begin{align} & x=-2+t \\ & y=-2-t \\ & z=1 \\ \end{align} \right.$.

Lời giải:

Ta có: $2.\left( -2 \right)+2.\left( -2 \right)-1+9=0$$\Rightarrow B\in \left( P \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $\left( P \right)$ thì $\left\{ \begin{align}& MB\bot AH \\ & MB\bot AM \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow MB\bot \left( AHM \right)$ $\Rightarrow MB\bot MH$

$\Rightarrow MB\le BH$. Dấu bằng xảy ra khi $M\equiv H$, lúc đó $M$ là hình chiếu của $A$ trên $\left( P \right)$.

Đường thẳng $MA$ qua $A\left( 1;\,2;\,-3 \right)\,$và nhận VTPT của mp$\left( P \right)$: $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2;2;-1 \right)$làm VTCP có phương trình tham số: $\left\{ \begin{align}& x=1+2t \\ & y=2+2t \\ & z=-3-t \\ \end{align} \right.$.

Vì $M\in MA\Rightarrow M\left( 1+2t;\,2+2t;\,-3-t \right)$.

Vì $M\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)+3+t+9=0\Leftrightarrow t=-2$

$\Rightarrow M\left( -3;-2;-1 \right)$$\Rightarrow \overrightarrow{MB}=\left( 1;0;2 \right)$.

Phương trình tham số của $MB$ là $\left\{ \begin{align} & x=-2+t \\ & y=-2 \\ & z=1+2t \\ \end{align} \right.$.

Câu 21. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho điểm $I\left( 1;0;0 \right)$, điểm $M\left( \frac{7}{9};\frac{4}{9};\frac{4}{9} \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{align}& x=2 \\ & y=t \\ & z=1+t \\ \end{align} \right.$. $N\left( a,b,c \right)$ là điểm thuộc đường thẳng $d$ sao cho diện tích tam giác $IMN$ nhỏ nhất. Khi đó $a+b+c$ có giá trị bằng:

A. 2.       B. $-2$.       C. $\frac{5}{2}$.       D. $\frac{-5}{2}$.

Lời giải:

Ta có $IM=\frac{2}{3}$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $N$ trên đường thẳng $d'$ đi qua $I,M$, ta có: ${{S}_{\Delta IMN}}=\frac{1}{2}IM.NH=\frac{1}{3}NH$

Diện tích tam giác $IMN$ nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài $NH$ nhỏ nhất.

$N\in d\Rightarrow N\left( 2;n;1+n \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{IN}=\left( 1;n;1+n \right)$.

Đường thẳng $d'$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u'}=\left( 1;-2;-2 \right)$. $\left[ \overrightarrow{IN},\overrightarrow{u'} \right]=\left( 2;n+3;-n-2 \right)$.

$NH=d\left( N;d' \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IN},\overrightarrow{u'} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u'} \right|}=\frac{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( n+3 \right)}^{2}}+{{\left( -n-2 \right)}^{2}}}}{3}=\frac{\sqrt{2{{\left( n+\frac{5}{2} \right)}^{2}}+\frac{9}{4}}}{3}\ge \frac{1}{2}$.

Dấu $”=”$ xảy ra khi $n=-\frac{5}{2}$, suy ra: $N\left( 2;-\frac{5}{2};-\frac{3}{2} \right)$. Vậy $a+b+c=-2$.

Câu 22. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\,\,\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-5}{2}$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,\,2x+y+z-3=0$. Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A\left( 2;-1;3 \right)$, cắt đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$ góc ${{30}^{0}}$ có phương trình:

A. $\frac{x+2}{22}=\frac{y-1}{-13}=\frac{z+3}{8}$.       B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{2}$.       C. $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{1}$.       D. $\frac{x-2}{-11}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-3}{2}$.

Lời giải:

Mặt phẳng $\left( P \right):\,\,2x+y+z-3=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left( 2;1;1 \right)$.

Gọi $B=d\cap \Delta $ thì $B\left( 1+t;-1-t;5+2t \right)$ và $\overrightarrow{AB}=\left( -1+t;\,-t;\,2+2t \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $.

Ta có: $\sin {{30}^{0}}=\,\sin \left( \Delta ,\left( P \right) \right)=\,\left| cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n} \right) \right|$  $\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}$  $\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{\left| -2+2t-t+2+2t \right|}{\sqrt{{{\left( -1+t \right)}^{2}}+{{\left( -t \right)}^{2}}+{{\left( 2+2t \right)}^{2}}}.\sqrt{6}}$  $\Leftrightarrow 6\left( 6{{t}^{2}}+6t+5 \right)=36{{t}^{2}}\Leftrightarrow t=\frac{-5}{6}$

Suy ra $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{6}\left( -11\,;\,5\,;\,2 \right)$

Phương trình đường thẳng $\Delta $: $\frac{x-2}{-11}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-3}{2}$.

Câu 23. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;1;1 \right)$; $B\left( -1;2;3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z-5=0$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $d$ nhỏ nhất, khi đó đường thẳng $d$ có phương trình là

A. $\left( d \right):\left\{ \begin{align}& x=2-2t \\ & y=1-t \\ & z=1+4t \\ \end{align} \right.$.       B. $\left\{ \begin{align}& x=2+2t \\ & y=1-t \\  & z=1-4t \\ \end{align} \right.$.       C. $\left\{\begin{align}& x=2+2t \\ & y=1+t \\  & z=1+4t \\ \end{align} \right.$.       D. $\left\{\begin{align}& x=2-2t \\  & y=1+t \\ & z=1+4t \\ \end{align} \right.$.

Lời giải:

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A\left( 2;1;1 \right)$và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$: $x-2y+2z-2=0$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên mặt phẳng $\left( Q \right)$. Khi đó đường thẳng $BH$ đi qua $B$ và nhận ${{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}}=(1;-2;2)$ làm VTCP

Phương trình tham số của $BH:\left\{ \begin{align}& x=-1+t \\ & y=2-2t \\  & z=3+2t \\ \end{align} \right.$

Do $H=BH\cap \left( Q \right)$;$H\in BH$ nên $H\left( -1+t;2-2t;3+2t \right)$ và $H\in \left( Q \right)$.

Ta có $-1+t-2\left( 2-2t \right)+2\left( 3+2t \right)-2=0$ $\Rightarrow t=1$ $\Rightarrow H=\left( 0;0;5 \right)$.

Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên đường thẳng $d$ khi đó $d(B;d)=BK\ge BH$.

Khoảng cách từ $B$ đến $d$ nhỏ nhất khi $BK=BH$ hay $K\equiv H$.

Có $\overrightarrow{AH}=\left( -2;-1;4 \right)$.

VTCP của đường thẳng $\left( d \right):{{\overrightarrow{u}}_{d}}=\overrightarrow{AH}\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{d}}=(-2;-1;4)$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng $\left( d \right):\left\{ \begin{align}& x=2-2t \\ & y=1-t \\ & z=1+4t \\ \end{align} \right.$.

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{-1}=y-3=\frac{z-1}{2}$ và điểm $A\left( 2;-1;1 \right)$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$, cắt $\Delta $ tại điểm có tọa độ nguyên, tạo với $\Delta $ một góc $\alpha $ thỏa $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$. Phương trình của đường thẳng $d$ là

A. $\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-1}{2}$.       B. $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+1}{2}$.       C. $\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{1}$.       D. $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{1}$.

Lời giải:

$\Delta $ có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u}=\left( -1;1;2 \right)$ và có phương trình tham số là: $\left\{ \begin{align} & x=2-t \\ & y=3+t \\  & z=1+2t \\ \end{align} \right.$.

Gọi $M=\Delta \cap d$. Do $M\in \Delta $ nên $M\left( 2-t;3+t;1+2t \right)$.

Khi đó : $\overrightarrow{AM}=\left( -t;4+t;2t \right)$

Dễ thấy $\overrightarrow{AM}\ne \overrightarrow{0}$. Suy ra $\overrightarrow{AM}$ là vectơ chỉ phương của $d$.

Gọi $\alpha $ là góc giữa của $\Delta $ và $d$.

Ta có: $\cos \alpha =\frac{\left| \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{AM} \right|.\left| \overrightarrow{u} \right|}$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{\left| 6t+4 \right|}{\sqrt{6{{t}^{2}}+8t+16}.\sqrt{6}}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-\frac{7}{3} \\ & t=1 \\ \end{align} \right.$.

Với $t=-\frac{7}{3}$ suy ra: $M\left( \frac{13}{3};\frac{2}{3};-\frac{11}{3} \right)$

Với $t=1$ suy ra: $M\left( 1;4;3 \right)$.

Khi đó $d$ đi qua $A\left( 2;-1;1 \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AM}=\left( -1;5;2 \right)$ nên có phương trình là: $\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-1}{2}$.

Câu 25. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x}{2}=-y-1=-z$ và điểm $M\left( 1\,;\,-1\,;\,-1 \right)$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M$, cắt $d$ và tạo với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ một góc lớn nhất. Giả sử $\overrightarrow{u}=\left( 1;a{ };b \right)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$. Tổng $a+b$ bằng

A. 2.       B. $-1$.       C. 1.       D. 0.

Lời giải:

Gọi $N=d\cap \Delta $ $\Rightarrow N\left( 2t\,;\,-1-t\,;\,-t \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{NM}=\left( 1-2t\,;\,t\,;\,t-1 \right)$

Gọi $\left( \widehat{\Delta ,\left( Oxy \right)} \right)=\varphi $ $\Rightarrow \sin \varphi =\frac{\left| \overrightarrow{NM}.\overrightarrow{k\,} \right|}{\left| \overrightarrow{NM} \right|.\left| \overrightarrow{k\,} \right|}=\frac{\left| t-1 \right|}{\sqrt{{{\left( 1-2t \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}}}=\frac{\left| t-1 \right|}{\sqrt{6{{t}^{2}}-6t+2}}$

Ta có: $\frac{\left| t-1 \right|}{\sqrt{6{{t}^{2}}-6t+2}}=\frac{\left| \left( t-\frac{1}{2} \right)+\left( -\sqrt{3} \right)\frac{1}{2\sqrt{3}} \right|}{\sqrt{6{{t}^{2}}-6t+2}}\le \frac{\sqrt{4\left( {{\left( t-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2\sqrt{3}} \right)}^{2}} \right)}}{\sqrt{6{{t}^{2}}-6t+2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}$

Dấu “=” xảy ra khi $t-\frac{1}{2}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{3}}}{-\sqrt{3}}\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}$

Khi đó $\overrightarrow{NM}=\left( \frac{1}{3}\,;\,\frac{1}{3}\,;\,-\frac{2}{3} \right)=\frac{1}{3}\left( 1\,;\,1\,;\,-2 \right)$

Vậy $a+b=-1$.

Câu 26. Trong mặt phẳng $Oxyz$, cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có toạ độ đỉnh $S(6;-2;3)$, thể tích $V=18$ và $AB=a\,\,\left( a<7 \right)$. Đường thẳng $BC$ có phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}$. Gọi $(S)$ là mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $A$ và tiếp xúc cạnh $SB$. Khi đó bán kính của mặt cầu $(S)$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. $(3;4)$.       B. $(5;6)$.       C. $(2;3)$.       D. $(3;4)$.

Lời giải:

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ thì $SM=d\left( S,BC \right)=\sqrt{29}$.

Gọi $H$ là tâm của $\Delta ABC$ đều có cạnh bằng $a$ thì $HM=\frac{1}{3}.AM=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Áp dụng định lí Pytago cho $\Delta AHM$ vuông tại $H$:

$SH=\sqrt{S{{M}^{2}}-H{{M}^{2}}}=\sqrt{29-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}}=\sqrt{29-\frac{{{a}^{2}}}{12}}$

Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là 18 nên ta có:

$\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=18\Leftrightarrow \frac{1}{3}.\sqrt{29-\frac{{{a}^{2}}}{12}}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=18\Rightarrow {{a}^{2}}=24\Rightarrow a=2\sqrt{6}$.

Cách 1:

Gọi $P$ là tâm của $\left( S \right)$, $Q$ là hình chiếu của $P$ lên mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $E$ là hình chiếu của $P$ lên đường thẳng $SB$.

Do $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $A$ và tiếp xúc cạnh $SB$ nên $BA$, $BS$ là hai tiếp tuyến của $\left( S \right)$, suy ra $\widehat{QAB}=\widehat{QEB}=90{}^\circ$.

Gọi $R$ là bán kính của $\left( S \right)$.

Xét tam giác $APQ$ vuông tại $Q$: $PA=\frac{QA}{\sin \widehat{APQ}}\Rightarrow R=\frac{QA}{\sin \left( \left( ABC \right),\left( SAB \right) \right)}$.

Do $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều nên ta có: $\left( \left( ABC \right),\left( SAB \right) \right)=\left( \left( ABC \right),\left( SBC \right) \right)=\widehat{SMH}$.

Xét tam giác $SHM$ vuông tại $H$: $\sin \widehat{SMH}=\frac{SH}{SM}=\frac{\sqrt{29-\frac{{{\left( 2\sqrt{6} \right)}^{2}}}{12}}}{\sqrt{29}}=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{29}}$.

Ta có $\Delta SAB=\Delta SBC$ nên $\cos \widehat{ABS}=\cos \widehat{CBS}=\cos \widehat{MBS}=\frac{MB}{SB}=\frac{MB}{\sqrt{S{{M}^{2}}+M{{B}^{2}}}}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{29+{{\left( \frac{2\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{35}}$.

Xét tam giác $QAB$ vuông tại $A$: $QA=AB.\tan \widehat{ABQ}=AB.\tan \frac{\widehat{ABS}}{2}=AB.\sqrt{\frac{1-\cos \widehat{ABS}}{1+\cos \widehat{ABS}}}=2\sqrt{6}.\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{35}}}{1+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{35}}}}=2\sqrt{6}.\sqrt{\frac{\sqrt{35}-\sqrt{6}}{\sqrt{35}+\sqrt{6}}}$.

Từ, và suy ra $R=\frac{2\sqrt{6}.\sqrt{\frac{\sqrt{35}-\sqrt{6}}{\sqrt{35}+\sqrt{6}}}}{\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{29}}}=\frac{2\sqrt{70}-4\sqrt{3}}{3}\approx 3,27\in \left( 3;4 \right)$.

Cách 2:

Tọa độ $M$ thỏa hệ $\left\{ \begin{align}& \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1} \\ & 1\left( x-6 \right)+2\left( y+2 \right)+1\left( z-3 \right)=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{align}& x=2 \\  & y=1 \\ & z=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow M\left( 2;1;1 \right)$.

Tọa độ $B$, $C$ thỏa hệ $\left\{ \begin{align} & \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1} \\ & {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=6 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left( x;y;z \right)\in \left\{ \left( 1;-1;0 \right),\left( 3;3;2 \right) \right\}$.

Vì $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều và mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $A$ nên không mất tính tổng quát ta chọn $B\left( 1;-1;0 \right),{ }C\left( 3;3;2 \right)$.

Có 2 mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ chứa đường thẳng $BC$ và thỏa $d\left( S,\left( \alpha  \right) \right)=SH=3\sqrt{3}$, ta chọn 1 mặt phẳng có phương trình $\left( \alpha  \right):{ }x-y+z-2=0$suy ra $H\left( 3;1;0 \right)$. Vì $H$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên suy ra $A\left( 5;1;-2 \right)$.

Gọi $P$ là tâm của $\left( S \right)$ suy ra $P=\left( 5+t;1-t;-2+t \right)$.

Ta có $\overrightarrow{BP}=\left( 4+t;2-t;t-2 \right),{ }\overrightarrow{BS}=\left( 5;-1;3 \right),{ }\left[ \overrightarrow{BP},\overrightarrow{BS} \right]=\left( 4-2t;2t-22;4t-14 \right)$.

Gọi $R$ là bán kính của $\left( S \right)$, ta có $R=PA=d\left( P,SB \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{BP},\overrightarrow{BS} \right] \right|}{SB}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=-\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{70}}{3\sqrt{3}} \\ & t=-\frac{4}{3}-\frac{2\sqrt{70}}{3\sqrt{3}} \\ \end{align} \right.$.

Vậy có 2 mặt cầu cần tìm thỏa yêu cầu bài toán, chúng có bán kính lần lượt là

$R=\sqrt{3}\left| t \right|=\frac{2\sqrt{70}-4\sqrt{3}}{3}\approx 3,27\in \left( 3;4 \right)$ hay $R=\sqrt{3}\left| t \right|=\frac{2\sqrt{70}+4\sqrt{3}}{3}\approx 7,88$.

Nguyễn Quốc Hoàn ,  02/3/2023

Các chuyên đề về phương pháp tọa độ trong không gian ôn thi TN THPT QG năm 2023

1  Phương pháp tọa độ trong không gian năm 2023 phần 1  Ấn đây vào bài này

2  Phương pháp không gian tọa độ Oxyz phần 2    Ấn đây vào bài này

3  Phương trình mặt phẳng mặt cầu trong không gian mức khó VD và VDC    Ấn đây vào bài này

4  Phương trình mặt cầu trong không gian tọa độ Oxyz    Ấn đây vào bài này

5  Phương pháp tọa độ trong không gian ôn thi TN THPT 2023 VD VDC    Ấn đây vào bài này

6  Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian phát triển câu VD VDC năm 2023    Ấn đây vào bài này

7  Phương trình đường thẳng trong không gian tọa độ Oxyz VD VDC phần 1    Ấn đây vào bài này

8  Hình học không gian tọa độ Oxyz phần 2 Ôn thi TNTHPT 2023    Ấn đây vào bài này